高斯消元系列-白红宇

高斯消元系列

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发布时间：2019-06-14

本文共 15972 字，大约阅读时间需要 53 分钟。

高斯第一篇

poj1222

状压枚举法

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                10 using namespace std; 11 #define N 100000 12 #define LL long long 13 #define INF 0xfffffff 14 const double eps = 1e-8; 15 const double pi = acos(-1.0); 16 const double inf = ~0u>>2; 17 int f[10][1<<6],a[8],b[8][8],o[10][1<<6]; 18 char s[8][8]; 19 int main() 20 { 21 int i,j,g,t,kk=0; 22 cin>>t; 23 while(t--) 24 { 25 for(i = 1 ; i <= 5 ; i++) 26 { 27 for(j = 0 ; j < 6 ; j++) 28 { 29 cin>>s[i][j]; 30 b[i][j] = s[i][j]-'0'; 31 } 32 } 33 34 for(i = 0 ; i < (1<<6) ; i++) 35 { 36 for(j = 0 ; j < 6 ; j++) 37 a[j] = b[1][j]; 38 for(g = 0 ; g < 6 ; g++) 39 if((1<
               
                = 1; i--) 96 { 97 t = o[i][t]; 98 for(j = 0 ; j < 6 ; j++) 99 {100 if(t&(1<

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高斯消元

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               10 using namespace std;11 #define N 10000012 #define LL long long13 #define INF 0xfffffff14 const double eps = 1e-8;15 const double pi = acos(-1.0);16 const double inf = ~0u>>2;17 int x[42][42],ans[32];18 int gauss()19 {20 int i,j,k;21 for(k = 0 ;k < 30 ; k++)//依次将第k列变换为022 {23 i = k;24 while(i<30&&x[i][k]==0) i++;25 if(i!=k)//找出第一个k列不为0的行 与之交换 因为是01 一般的会找出最大的26 {27 for(j = 0 ; j <= 30 ; j++)28 swap(x[k][j],x[i][j]);29 }30 //i++;31 for(i = 0 ;i <30 ; i++)//所有行与第k行进行运算 32 {33 if(i==k||x[i][k]==0)34 {35 continue;36 }37 for(j = 0 ;j <= 30 ; j++)38 {39 x[i][j]^=x[k][j];//因为01矩阵的特殊性 直接异或就可以了40 }41 }42 }43 for(i = 0 ;i < 30 ;i++)44 {45 if(x[i][30])46 {47 for(j = 0 ; j < 30&&x[i][j]==0 ; j++);48 if(j==30) return 0;49 else ans[j] = x[i][30];//也是因为01矩阵的特殊性 免去了解一元方程的麻烦50 }51 }52 return 1;53 }54 int main()55 {56 int i,j,n,kk=0;57 cin>>n;58 while(n--)59 {60 memset(ans,0,sizeof(ans));61 memset(x,0,sizeof(x));62 for(i =0 ;i < 30 ;i++)63 {64 scanf("%d",&x[i][30]);65 }66 for(i =0 ; i < 30 ;i++)//构造矩阵 行为开关 列为灯 一个开关可以控制5个灯67 {68 x[i][i] = 1;69 if(i>5) x[i][i-6] = 1;70 if(i%6>0) x[i][i-1] = 1;71 if(i%6<5) x[i][i+1] = 1;72 if(i+6<30) x[i][i+6] = 1;73 }74 /*for(i = 0 ;i < 30 ;i++)75 {76 int tx = i/6;77 int ty = i%6;78 x[i][i] = 1;79 for(j = 0 ; j < 30 ; j++)80 {81 int kx = j/6;82 int ky = j%6;83 if(abs(tx-kx)+abs(ty-ky)<=1)84 x[i][j] = 1;85 }86 }*/87 gauss();88 printf("PUZZLE #%d\n",++kk);89 for(i = 0 ; i < 30 ;i++)90 {91 cout<

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线代都忘干净了。。看了N多博客及讲解把上篇最简单的高斯消元入门题搞懂。下面贴几篇讲的不错的博客。

如果对线代没什么概念的话还是先看下文库的概念及理论

对高斯消元的解析及例题

高斯消元的模板比较全的模板包括无解有解及多解

然后是对此题详细的讲解感谢这位看了他的博客才明白了这道题

再大体说一下这题构造出矩阵套上模板就可以A了对于初学，的确不知道怎么构造矩阵，什么叫构造矩阵，先从开关与灯的关系入手，每个开关可以控制5台灯，边上的另算，这样就可以构造出一个开关与灯的01矩阵 A （30*30）题的目的就是让灯从初始状态变为全0 当然可以逆着来从0 变为初始状态所以把初始状态化成一个单位向量输入为1 B[i] = 1 那就可以列出式子

AX=B X为所求。

这个题与上题类似不同的地方在于此题可能有多解需要找出变换次数最小的解那就要枚举自由元不知道自由元的话可以看一下上面文库里的概念每个自由元有两种取值 0,1 每取一次，就会确定方程的一组解这样从中选出一个最小的网上大部分题解说是把自由元取为0就可以了不过没有一篇博客给出证明。。难道这样的结论显而易见？反正我没证出来，不过我验证了那样写交上去是对的。。还是又用了保险一点的方法，就以普通方法对自由元进行枚举，从中选取最小的。

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                10 using namespace std; 11 #define N 100000 12 #define LL long long 13 #define INF 0xfffffff 14 const double eps = 1e-8; 15 const double pi = acos(-1.0); 16 const double inf = ~0u>>2; 17 int a[230][230],n,free_x[230],x[230]; 18 int gauss() 19 { 20 int i,j,k; 21 int m = n*n; 22 int e= 0,g; 23 int num = 0; 24 for(k = 0 ;k < m&&e< m; k++,e++) 25 { 26 i = k; 27 while(i
               
                = 0; j--) 67 { 68 for(g = j ; g < m ;g++) 69 { 70 if(a[j][g]) break; 71 } 72 x[g] = a[j][m]; 73 for(e = g+1 ; e < m ; e++) 74 { 75 if(a[j][e]) 76 x[g]^=x[e]; 77 } 78 cnt+=x[g]; 79 } 80 minz = min(minz,cnt); 81 } 82 return minz; 83 } 84 for(i = m-1 ; i >= 0 ;i--) 85 { 86 x[i] = a[i][m]; 87 for(j = i+1 ;j < m ; j++) 88 if(a[i][j]) 89 x[i] ^= x[j]; 90 91 } 92 int cnt=0; 93 for(i =0 ;i < m ;i++) 94 if(x[i]) cnt++; 95 return cnt; 96 } 97 int main() 98 { 99 int t,i;100 cin>>t;101 while(t--)102 {103 cin>>n;104 memset(a,0,sizeof(a));105 for(i = 0 ; i < n*n; i++)106 {107 char c;108 cin>>c;109 if(c=='y')110 a[i][n*n] = 0;111 else112 a[i][n*n] = 1;113 }114 for(i = 0; i < n*n ; i++)115 {116 a[i][i] = 1;117 if(i%n>0) a[i-1][i] = 1;118 if(i%n
                
                 =n) a[i-n][i] = 1;120 if(i+n

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求解的个数因为只能取01 所以无穷解变成了 2^k k为自由元的个数

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               10 using namespace std;11 #define N 10000012 #define LL long long13 #define INF 0xfffffff14 const double eps = 1e-8;15 const double pi = acos(-1.0);16 const double inf = ~0u>>2;17 int a[32][32],b[32],c[32],n;18 int gauss()19 {20 int i,j,k,g=1;21 for(k = 1 ; k <= n && g<=n;k++,g++)22 {23 i = k;24 while(i<=n&&a[i][g]==0) i++;25 if(i>n)26 {27 k--;28 continue;29 }30 if(i!=k)31 {32 for(j = 1; j <= n+1 ;j++)33 swap(a[i][j],a[k][j]);34 }35 for(i = k+1 ; i <= n ;i++)36 {37 if(a[i][g])38 {39 for(j = g ; j <= n+1; j++)40 a[i][j]^=a[k][j];41 }42 }43 }44 for(i = k ; i <= n ;i++)45 {46 if(a[i][n+1]!=0) return 0;47 }48 return pow(2.0,n+1-k);49 }50 int main()51 {52 int t,i;53 cin>>t;54 while(t--)55 {56 memset(a,0,sizeof(a));57 cin>>n;58 for(i = 1; i <= n ;i++)59 cin>>b[i];60 for(i = 1; i <= n ;i++)61 {62 cin>>c[i];63 b[i] = (c[i]+b[i])%2;64 a[i][i] = 1;65 a[i][n+1] = b[i];66 }67 int u,v;68 while(cin>>u>>v)69 {70 if(!u&&!v) break;71 a[v][u] = 1;72 }73 int k = gauss();74 if(!k) {puts("Oh,it's impossible~!!");continue;}75 cout<
               
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与1681一样枚举自由元的状态

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                = 0; j--) 67 { 68 for(g = j ; g < m ;g++) 69 { 70 if(a[j][g]) break; 71 } 72 x[g] = a[j][m]; 73 for(e = g+1 ; e < m ; e++) 74 { 75 if(a[j][e]) 76 x[g]^=x[e]; 77 } 78 cnt+=x[g]; 79 } 80 minz = min(minz,cnt); 81 } 82 return minz; 83 } 84 for(i = m-1 ; i >= 0 ;i--) 85 { 86 x[i] = a[i][m]; 87 for(j = i+1 ;j < m ; j++) 88 if(a[i][j]) 89 x[i] ^= x[j]; 90 91 } 92 int cnt=0; 93 for(i =0 ;i < m ;i++) 94 if(x[i]) cnt++; 95 return cnt; 96 } 97 int main() 98 { 99 int t,i;100 cin>>t;101 while(t--)102 {103 cin>>n;104 memset(a,0,sizeof(a));105 for(i = 0 ; i < n*n; i++)106 {107 char c;108 cin>>c;109 if(c=='y')110 a[i][n*n] = 0;111 else112 a[i][n*n] = 1;113 }114 for(i = 0; i < n*n ; i++)115 {116 a[i][i] = 1;117 if(i%n>0) a[i-1][i] = 1;118 if(i%n
                
                 =n) a[i-n][i] = 1;120 if(i+n

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20个方程与上面的类似枚举自由元选取最小的

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                10 using namespace std; 11 #define N 100000 12 #define LL long long 13 #define INF 0xfffffff 14 const double eps = 1e-8; 15 const double pi = acos(-1.0); 16 const double inf = ~0u>>2; 17 int a[22][22],x[22],free_x[22]; 18 int gauss() 19 { 20 int i,j,g=0,k; 21 int num=0; 22 for(k =0 ;k < 20 && g<20; k++,g++) 23 { 24 i = k; 25 while(i<20&&a[i][g]==0) i++; 26 if(i==20) 27 { 28 k--; 29 free_x[num++] = g; 30 continue; 31 } 32 if(i!=k) 33 { 34 for(j =0 ; j <= 20 ; j++) 35 swap(a[i][j],a[k][j]); 36 } 37 for(i = k+1 ; i < 20; i++) 38 { 39 if(a[i][g]) 40 { 41 for(j = g; j <= 20 ; j++) 42 a[i][j]^=a[k][j]; 43 } 44 } 45 } 46 if(k<20) 47 { 48 int cnt=0,minz=INF,tt = 20-k; 49 for(i =0 ; i< (1<
               
                = 0; j--) 62 { 63 for(g = j ; g < 20 ; g++) 64 if(a[j][g]) break; 65 x[g] = a[j][20]; 66 for(int e = g+1; e < 20 ; e++) 67 if(a[j][e]) 68 x[g]^=x[e]; 69 cnt+=x[g]; 70 } 71 minz = min(minz,cnt); 72 } 73 return minz; 74 } 75 int cnt = 0; 76 for(i = 19 ; i >= 0; i--) 77 { 78 x[i] = a[i][20]; 79 for(j = i+1 ; j < 20 ; j++) 80 x[i]^=x[j]; 81 cnt+=x[i]; 82 } 83 return cnt; 84 } 85 int main() 86 { 87 int i,b; 88 while(cin>>b) 89 { 90 memset(a,0,sizeof(a)); 91 a[0][20] = b; 92 for(i = 1; i < 20 ;i++) 93 { 94 cin>>b; 95 a[i][20] = b; 96 } 97 for(i = 0 ;i < 20 ; i++) 98 { 99 if(i>0) a[i-1][i] = 1;100 a[i][i] = 1;101 if(i<19) a[i+1][i] = 1;102 }103 int k = gauss();104 cout<
                
                 <

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上面几题都是 01 矩阵的一些求解，从这题开始就是一些Modp的一些求解其实也与之类似参考着最上面的模板理解一下计算方法这一类的题目都很类似，不是很难

这题有几个需要注意的地方要看清题目中说的时间要在3-9天内在截止时间减开始时间的时候需要不断对7取余计算时也需要不断对7取余因为需要整数解在最后求x[i]的时候需要不断+mod来使得最后的解为一个整数各种细心啊。。

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                10 using namespace std; 11 #define N 100000 12 #define LL long long 13 #define INF 0xfffffff 14 const double eps = 1e-8; 15 const double pi = acos(-1.0); 16 const double inf = ~0u>>2; 17 int a[310][310],x[310],n,m; 18 int judge(char *s) 19 { 20 if(strcmp(s,"MON")==0) return 1; 21 if(strcmp(s,"TUE")==0) return 2; 22 if(strcmp(s,"WED")==0) return 3; 23 if(strcmp(s,"THU")==0) return 4; 24 if(strcmp(s,"FRI")==0) return 5; 25 if(strcmp(s,"SAT")==0) return 6; 26 return 7; 27 } 28 int gcd(int a,int b) 29 { 30 int t; 31 while(b!=0) 32 { 33 t = b; 34 b = a%b; 35 a = t; 36 } 37 return a; 38 } 39 int gauss() 40 { 41 int i,j,k,g=0; 42 for(k = 1 ; k <= m && g <= n;k++,g++) 43 { 44 i = k; 45 int maxz = a[i][g]; 46 for(j = k+1 ; j <= m ;j++) 47 if(a[j][g]>maxz) 48 { 49 maxz = a[j][g]; 50 i = j; 51 } 52 if(a[i][g]==0) 53 { 54 k--; 55 continue; 56 } 57 if(i!=k) 58 { 59 for(j = 1 ; j<= n+1 ;j++) 60 swap(a[i][j],a[k][j]); 61 } 62 for(i = k+1; i <= m ; i++) 63 { 64 if(a[i][g]) 65 { 66 int gc = gcd(a[i][g],a[k][g]); 67 int lm = a[i][g]/gc*a[k][g]; 68 int u1 = lm/a[i][g]; 69 int u2 = lm/a[k][g]; 70 if(a[i][g]*a[k][g]<0) u2 = -u2; 71 for(j = g ; j <= n+1 ; j++) 72 { 73 a[i][j] = ((u1*a[i][j]-u2*a[k][j])%7+7)%7; 74 } 75 } 76 } 77 } 78 for(i = k ; i<= m ; i++) 79 if(a[i][n+1]) return -1; 80 if(k
               
                = 1 ;i--) 82 { 83 int s = a[i][n+1]; 84 for(j = i+1 ; j <= n ;j++) 85 { 86 s-=a[i][j]*x[j]; 87 s=(s%7+7)%7; 88 } 89 while(s%a[i][i]!=0) s+=7; 90 x[i] = ((s/a[i][i])%7+7)%7; 91 } 92 return 1; 93 } 94 int main() 95 { 96 int i,j,k; 97 char s1[20],s2[20]; 98 while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m) 99 {100 memset(a,0,sizeof(a));101 memset(x,0,sizeof(x));102 for(i = 1 ;i <= m ;i++)103 {104 scanf("%d %s %s",&k,s1,s2);105 int t1 = judge(s1),t2 = judge(s2),t;106 t = (t2-t1+1+7)%7;107 a[i][n+1] = t;108 for(j = 1; j <= k ;j++)109 {110 int u;111 cin>>u;112 a[i][u]++;113 a[i][u]%=7;114 }115 }116 int k = gauss();117 if(k==-1)118 puts("Inconsistent data.");119 else if(k==0)120 puts("Multiple solutions.");121 else122 {123 for(i = 1 ; i < n ;i++)124 {125 if(x[i]<3) x[i]+=7;126 printf("%d ",x[i]);127 }128 if(x[i]<3) x[i]+=7;129 printf("%d\n",x[i]);130 }131 }132 return 0;133 }

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题意看了好久。。题目中给出了一个式子 0=<i<=n-1 aik^i 和 = f(k) k从1取到n n为字符串长度 f(k)用字符串来表示 a-z代表1-26 *代表0

n个方程很好想到。。写完发现样例过不去，看了下discuss说是什么范德萌行列式，又说挺难得，我以为想错了，看了下题解，发现跟我写的一样，仔细一看不是

a-'a'而是a-'a'+1 细心啊。。。

1 #include 
      
         2 #include
       
          3 #include
        
           4 #include
         
            5 #include
          
             6 #include
           
             7 #include
            
              8 #include
             
               9 #include
              
                10 using namespace std; 11 #define N 100000 12 #define LL long long 13 #define INF 0xfffffff 14 const double eps = 1e-8; 15 const double pi = acos(-1.0); 16 const double inf = ~0u>>2; 17 int pp[75][75],a[75][75],x[75]; 18 int md; 19 char s[75]; 20 void init(int n) 21 { 22 int i,j; 23 for(i = 1 ; i <= n ; i++) 24 { 25 pp[i][0] = 1; 26 for(j = 1 ; j < n ; j++) 27 pp[i][j] = (pp[i][j-1]*i)%md; 28 } 29 } 30 int gcd(int a,int b) 31 { 32 int t; 33 while(b) 34 { 35 t = b; 36 b = a%b; 37 a = t; 38 } 39 return a; 40 } 41 void gauss(int n) 42 { 43 int k,i,j,g=0; 44 for(k = 0; k < n && g < n ; k++,g++) 45 { 46 i = k; 47 int maxz = a[i][g]; 48 for(j = k+1 ; j < n ;j++) 49 if(maxz
               
                = 0 ;i--) 79 { 80 int s = a[i][n]; 81 for(j = i+1 ; j < n ;j++) 82 { 83 s-=a[i][j]*x[j]; 84 s = (s%md+md)%md; 85 } 86 while(s%a[i][i]!=0) s+=md; 87 x[i] = s/a[i][i]; 88 } 89 //cout<
                
                 <
                 
                  >t; 98 while(t--) 99 {100 cin>>md;101 cin>>s;102 k = strlen(s);init(k);103 memset(a,0,sizeof(a));104 memset(x,0,sizeof(x));105 for(i = 0 ; i < k ;i++)106 {107 if(s[i]!='*')108 a[i][k] = s[i]-'a'+1;109 else110 a[i][k] = 0;111 }112 for(i = 1; i <= k; i++)113 {114 for(j = 0 ; j < k ;j++)115 a[i-1][j] = pp[i][j];116 }117 gauss(k);118 }119 return 0;120 }

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The Clocks 这题其实不想贴的，感觉这题用高斯来解有些问题，4不为素数，计算中模的话解就变了，自己写的高斯死活过不去，参考着discuss中的一个高斯代码改了改，发现只能按他那一种写法可过，像计算中不取余，初等行变换的时候找第一个不为0的，找最大的进行交换就会错，用最小公倍数算也会错，各种不行啊。。

这题大部分是枚举过的，以前USACO上早就刷过，贴个自己改的不成样子的高斯吧

1 #include 
      
         2 #include
       
          3 #include
        
           4 #include
         
            5 #include
          
             6 #include
           
             7 #include
            
              8 #include
             
               9 #include
              
                10 using namespace std; 11 #define N 100000 12 #define LL long long 13 #define INF 0xfffffff 14 const double eps = 1e-8; 15 const double pi = acos(-1.0); 16 const double inf = ~0u>>2; 17 int a[20][20],x[10],free_x[10],o[10]; 18 int gcd(int a,int b) 19 { 20 int t; 21 while(b) 22 { 23 t = b; 24 b = a%b; 25 a = t; 26 } 27 return a; 28 } 29 void gauss() 30 { 31 int i,j,g=0,k; 32 int num = 0; 33 for(k = 0 ;k < 9 ; k++) 34 { 35 i = k; 36 for(j = k ; j< 9 ; j++) 37 { 38 if(a[j][k]!=0) 39 { 40 i = j; 41 break; 42 } 43 } 44 if(i!=k) 45 { 46 for(j =0 ;j <= 9 ;j++) 47 swap(a[i][j],a[k][j]); 48 } 49 for(i = k+1 ; i < 9 ; i++) 50 { 51 if(a[i][k]) 52 { 53 /*int gc= gcd(a[i][g],a[k][g]); 54 int lm = a[i][g]/gc*a[k][g]; 55 int t1 = lm/a[i][g]; 56 int t2 = lm/a[k][g]; 57 // if(a[i][g]*a[k][g]<0) t2 = -t2;*/ 58 int tt = a[i][k]; 59 for(j = k ; j <= 9 ;j++) 60 { 61 //a[i][j] = a[i][j]*t1-a[k][j]*t2;//)((%4+4)%4;; 62 a[i][j]*=a[k][k]; 63 a[i][j]-=a[k][j]*tt; 64 } 65 } 66 } 67 } 68 for(i = 8 ; i >= 0; i--) 69 { 70 if(a[i][i]) 71 { 72 int s = a[i][9]; 73 for(j = i+1 ; j < 9 ; j++) 74 { 75 s-=a[i][j]*x[j]; 76 77 } 78 s = (s%4+4)%4; 79 for(j = 0 ; j <= 3 ;j++) 80 if(((j*a[i][i])%4+4)%4==s) x[i] = j; 81 /*while(s%a[i][i]!=0) {s+=4;} 82 x[i] = s/a[i][i];//cout<<",";*/ 83 } 84 } 85 for(i =0 ; i< 9 ; i++) 86 x[i] = (x[i]%4+4)%4; 87 int tk = 0; 88 for(i = 0 ;i < 9 ; i++) 89 { 90 while(x[i]) 91 { 92 if(tk) printf(" "); 93 tk++; 94 printf("%d",i+1); 95 x[i]--; 96 } 97 } 98 puts(""); 99 }100 int main()101 {102 int i,b,j;103 104 while(cin>>b)105 {106 memset(x,0,sizeof(x));107 memset(a,0,sizeof(a));108 for(i = 0 ; i < 9 ; i++)109 {110 switch(i)111 {112 case 0: a[0][i] = a[1][i] = a[3][i] = a[4][i] = 1;break;113 case 1: a[0][i] = a[1][i] = a[2][i] = 1;break;114 case 2: a[1][i] = a[2][i] = a[4][i] = a[5][i] = 1;break;115 case 3: a[0][i] = a[3][i] = a[6][i] = 1;break;116 case 4: a[1][i] = a[3][i] = a[4][i] = a[5][i] = a[7][i] = 1;break;117 case 5: a[2][i] = a[5][i] = a[8][i] = 1;break;118 case 6: a[3][i] = a[4][i] = a[6][i] = a[7][i] = 1;break;119 case 7: a[6][i] = a[7][i] = a[8][i] = 1;break;120 case 8: a[4][i] = a[5][i] = a[7][i] = a[8][i] = 1;break;121 }122 }123 a[0][9] = (4-b)%4;124 for(i = 1; i < 9 ; i++)125 {126 cin>>b;127 a[i][9] = (4-b)%4;128 }129 gauss();130 }131 return 0;132 }

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